Деление уравнения 5 степени

 

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х³ – 1)² + х⁵ = х⁶ – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х⁵ – 2х³ + 3 = 0 пятой степени.

Правила, которые понадобятся для решения уравнений пятой степени.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Р_n(х) = (х – α) · Q_{n – 1}(x), где Q_{n – 1}(x) – многочлен степени (n – 1).
4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени

Р₃(х) = ах³ + bx² + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р₃(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р₃(x) = а(х – α)(х² + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х₁, х₂, …, х_n– действительные корни многочлена

Р(х) = а₀хⁿ + а₁х^{n — 1} + … + а_n, то имеют место следующие равенства:

х₁ + х₂ +  …  + х_n = -а₁/а₀,

х₁ · х₂ + х₁ · х₃ + … + х_{n – 1} · х_n = a₂/а₀,

х₁ · х₂ · х₃ + … + х_{n – 2} · х_{n – 1} · х_n = -a₃ / а₀,

…

х₁ · х₂ · х₃ · х_n = (-1)ⁿa_n / а₀.