Извлечение корня n-ой степени
Корнем n-ой степени из действительного положительного числа A называют такое число x, для которого:
x^n=A
Алгоритм, позволяющий вычислить число x с требуемой точностью, основан на методе Ньютона вычисления нуля функции. Чтобы найти при каком числе x выполняется f(x)=0, необходимо пошагово:
Подобрать предполагаемое значение числа x на первом этапе, например, x_0.
Используя производную функции, вычислить число x_1 по формуле:
x_1=x_0-(f(x_0))/(f^’ (x_0))
На каждом последующем шаге:
x_(k+1)=x_k-(f(x_k))/(f^’ (x_k))
Повторяем третий шаг до достижения требуемой точности.
В нашем случае примем:
f(x)=x^n-A
Тогда:
f^’ (x)=nx^(n-1),
x_(k+1)=x_k-(x_k^n-A)/(nx_k^(n-1) )=1/n ((n-1)x_k+A/(x_k^(n-1) ))
В целом, алгоритм вычисления √(n&A) с помощью подбора решения уравнения
x^n=A
становится таким:
Подбираем предполагаемое значение числа x на первом этапе, например, x_0.
На каждом последующем шаге:
x_(k+1)=1/n ((n-1)x_k+A/(x_k^(n-1) ))
Повторяем второй шаг до достижения требуемой точности.
Например, для √2 (n=2) получаем:
x_0=1,4 (так как〖1,4〗^2=1,96)
x_1=1/2 (1,4+2/1,4)=3,96/2,8≈1,41