Система линейных уравнений
Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде записывается как:
a_11 x_1+a_12 x_2=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2=b_2
Здесь x_1, x_2 – неизвестные переменные, а a_11, a_12, a_21, a_22, b_1,b_2 – постоянные величины.
Решение этой системы уравнений записывается в виде:
x_1=(b_2 a_12-a_22 b_1)/(a_21 a_12 — a_22 a_11 )
x_2=(b_1 a_21- b_2 a_11)/(a_21 a_12 — a_22 a_11 )
В случае, если a_21 a_12 — a_22 a_11=0, то система либо не имеет решений, либо у нее бесконечно много решений.
Решим систему уравнений двумя способами на конкретном примере.
Метод подстановки
Возьмем систему уравнений:
2x+y=1
3x-2y=5
Из первого уравнения:
y=1-2x
Подставляя это выражение во второе, получим:
3x-2(1-2x)=5⟺3x-2+4x=5⟺7x=7⟺x=1
Подставляя далее x=1 в первое уравнение:
2∙1+y=1⟺y=-1
Таким образом, пара чисел x=1,y=-1 или (1;-1) является решением данной системы уравнений.
Метод исключения
Решим эту же систему другим способом, умножив первое уравнение на (-2), чтобы коэффициент при y в первом уравнении был таким же, как и во втором:
-4x-2y=-2
Вычитая это уравнение из второго, получаем:
3x-2y=5
—
-4x-2y=-2
(3-(-4))x-(2+(-2))y=5-(-2)
После раскрытия скобок остается лишь одна переменная
7x=7⟺x=1
Подставляя x=1 в первое уравнение, получаем y=-1.