Уравнение 4-ой степени
Уравнение 4-ой степени в общем виде записывается как:
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
Здесь x – неизвестное переменное, a, b, c и d – постоянные коэффициенты при x^4, x^3, x^2 и x, соответственно, и e – свободный член. Причем, a≠0. Если a=0, то уравнение перестает быть уравнением 4-ой степени и превращается в кубическое, квадратное или линейное.
Используя замену переменных x=t-b/4a , исходное уравнение преобразуется к виду:
t^4+pt^2+qt+r=0,
где
p=(8ac-3b^2)/(8a^2 ),
q=(8a^2 d+b^3-4abc)/(8a^3 ),
r=(16ab^2 c-64a^2 bd-3b^4+256a^3 e)/(256a^4 )
Решение Декарта-Эйлера для корней этого уравнения t_1,t_2,t_3,t_4 записывается следующим образом:
t_1,2,3,4=±√(z_1 )±√(z_2 )±√(z_3 )
Здесь z_1,z_2,z_3 – корни кубического уравнения:
z^3+p/2 z^2+(p^2-4r)/16 z-q^2/4=0,
а знаки надо выбрать так, чтобы выполнялось равенство:
(±√(z_1 ))(±√(z_2 ))(±√(z_3 ))=-q/8
Существуют и другие способы решения, более удобные для частных случаев. Например, биквадратное уравнение:
ax^4+bx^2+c=0
с помощью замены переменных x^2=y сводится к квадратному уравнению:
ay^2+by+c=0