Дзета функция Римана

  X
 
Дзета-функция Римана для аргумента s=
 
 

 

Дзета-функция Римана

Ряд вида:

∑_(n=1)^∞( a_n/n^s ),

где a_n и s – комплексные числа в общем случае, называют рядом Дирихле. В случае a_n=1 получаем ряд, зависящий от s.

Этот ряд и называют дзета-функцией Римана от комплексного переменной s=σ+ιt, при σ>1:

ζ(s)=∑_(n=1)^∞(1/n^s )=1/1^s +1/2^s +1/3^s +1/4^s +⋯

При σ>1 этот ряд сходится.

Вычислить точные значения этой функции в четных целых точках s=2k можно с помощью чисел Бернулли. Выглядит сумма ряда следующим образом:

ζ(2k)=〖(-1)〗^(k+1) 〖(2π)〗^2k/2(2k)! B_2k

Числа Бернулли достаточно хорошо изучены. Вот некоторые их значения:

B_2=1/6, B_4=-1/30, B_6=1/42

Для чисел Бернулли созданы таблицы, которые облегчают сложные вычисления.

Исходя из этого, получаем некоторые значения дзета-функции Римана:

при k=1, ζ(2)=〖(-1)〗^2 〖(2π)〗^2/2(2)! B_2=π^2/6,

при k=2, ζ(4)=〖(-1)〗^3 〖(2π)〗^4/2(4)! B_4=π^4/90

при k=3, ζ(6)=〖(-1)〗^4 〖(2π)〗^6/2(6)! B_6=π^6/945