Метод наименьших квадратов
Пусть нам даны исходные данные, представленные в виде некоторое количества пар чисел :
(x_i,y_i ),i=(1,k) ̅
Метод наименьших квадратов используется для аппроксимации исходных данных некоторой функцией, которая позволяет минимизировать сумму квадратов отклонений этой функции.
Уравнение парной линейной регрессии предполагает представление этой функции в виде прямой на координатной плоскости, которую можно однозначно охарактеризовать с помощью углового коэффициента m и точкой пересечения с осью ординат y_0:
m=((xy) ̅-x ̅y ̅)/((x^2 ) ̅-x ̅^2 ), y_0=y ̅-mx ̅
Здесь (xy) ̅,x ̅,y ̅,(x^2 ) ̅ – средние значения указанных величин.
Пример
Рассмотрим три пары исходных данных:
x_1=1,y_1=2,x_2=2,y_2=4,x_3=3,y_3=9
Требуемые средние значения равны:
x ̅=(1+2+3)/3=2,y ̅=(2+4+9)/3=5,(x^2 ) ̅=(1+4+9)/3=14/3,(xy) ̅=(2+8+27)/3=37/3,
Соответственно,
m=(37/3-10)/(14/3-4)=3,5
y_0=5-2m=-2
Уравнение прямой линии записывается в виде: y=3,5x-2