Уравнение четвертой степени

Вычисление корней:

Например, Введите a=3, b=6, c=-123, d=-126 и e=1080


ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
x4+ x3+ x2+ x+ e


Результаты:
x1: +   i
x2: +   i
x3: +   i
x4: +   i

 

Уравнение 4-ой степени

Уравнение 4-ой степени в общем виде записывается как:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

Здесь x – неизвестное переменное, a, b, c и d – постоянные коэффициенты при x^4, x^3, x^2 и x, соответственно, и e  – свободный член. Причем, a≠0. Если a=0, то уравнение перестает быть уравнением 4-ой степени и превращается в кубическое, квадратное или линейное.

Используя замену переменных x=t-b/4a , исходное уравнение преобразуется к виду:

t^4+pt^2+qt+r=0,

где

p=(8ac-3b^2)/(8a^2 ),

q=(8a^2 d+b^3-4abc)/(8a^3 ),

r=(16ab^2 c-64a^2 bd-3b^4+256a^3 e)/(256a^4 )

Решение Декарта-Эйлера для корней этого уравнения t_1,t_2,t_3,t_4 записывается следующим образом:

t_1,2,3,4=±√(z_1 )±√(z_2 )±√(z_3 )

Здесь z_1,z_2,z_3 – корни кубического уравнения:

z^3+p/2  z^2+(p^2-4r)/16  z-q^2/4=0,

а знаки надо выбрать так, чтобы выполнялось равенство:

(±√(z_1 ))(±√(z_2 ))(±√(z_3 ))=-q/8

Существуют и другие способы решения, более удобные для частных случаев. Например, биквадратное уравнение:

ax^4+bx^2+c=0

с помощью замены переменных x^2=y сводится к квадратному уравнению:

ay^2+by+c=0

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *