Решение системы линейных уравнений матричным способом
Система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными в общем виде записывается как:
a_11 x_1+a_12 x_2+a_13 x_3=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+a_23 x_3=b_2
a_31 x_1+a_32 x_2+a_33 x_3=b_3
Здесь x_1, x_2, x_3 – неизвестные переменные, а a_ij, b_i – постоянные величины, i=1,2,3, j=1,2,3.
В матричной форме это уравнение имеет вид
A∙X=B
Где
a_11 a_12 a_13
A= a_21 a_22 a_23
a_31 a_32 a_33
x_1 b_1
X= x_2 B=b_2
x_3 b_3
Если определитель матрицы отличен от нуля:
detA≠0,
то решение системы записывается в виде:
X=A^(-1)∙B,
где A^(-1) – обратная матрица:
A^(-1)=1/detA ((A_11&A_12&A_13@A_21&A_22&A_23@A_31&A_32&A_33 ))^T
Здесь A_ij – алгебраические дополнения матрицы A, i=1,2,3, j=1,2,3
Если detA=0, то система либо не имеет решений, либо их бесконечное количество.
Пример.
Решим систему уравнение
x_1+2x_2-x_3=4
x_2+x_3=0
x_1+ x_2 =2
Здесь
A=(1&2&-1@0&1&1@1&1&0), B=(4@0@2)
Далее:
detA=1∙|(1&1@1&0)|-2∙|(0&1@1&0)|-1∙|(0&1@1&1)|=-1+2+1=2
и
A^(-1)=1/2 (-1&1&-1@-1&1&1@3&-1&1)^T⇒X=1/2 (-1&-1&3@1&1&-1@-1&1&1)∙(4@0@2)=(1@1@-1)
Получаем решение: x_1=1,x_2=1,x_3=-1.