Решение системы линейных уравнений матричным способом

  X
x y z =
x y z =
x y z =
22222
X  A-1B  
= =
 
Результат:
X =
Y =
Z =

 

Решение системы линейных уравнений матричным способом

Система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными  в общем виде записывается как:

a_11 x_1+a_12 x_2+a_13 x_3=b_1

a_21 x_1+a_22 x_2+a_23 x_3=b_2

a_31 x_1+a_32 x_2+a_33 x_3=b_3 

Здесь x_1, x_2, x_3 – неизвестные переменные, а  a_ij, b_i – постоянные величины, i=1,2,3, j=1,2,3.

В матричной форме это уравнение имеет вид

A∙X=B

Где

      a_11 a_12 a_13

A= a_21 a_22 a_23

      a_31 a_32 a_33

      x_1                  b_1

X= x_2              B=b_2

      x_3                  b_3

Если определитель матрицы отличен от нуля:

detA≠0,

то решение системы записывается в виде:

X=A^(-1)∙B,

где  A^(-1) – обратная матрица:

A^(-1)=1/detA ((A_11&A_12&A_13@A_21&A_22&A_23@A_31&A_32&A_33 ))^T

Здесь A_ij – алгебраические дополнения матрицы A, i=1,2,3, j=1,2,3

Если detA=0, то система либо не имеет решений, либо их бесконечное количество.

Пример.

Решим систему уравнение

x_1+2x_2-x_3=4

         x_2+x_3=0

x_1+  x_2        =2

Здесь

A=(1&2&-1@0&1&1@1&1&0), B=(4@0@2)

Далее:

detA=1∙|(1&1@1&0)|-2∙|(0&1@1&0)|-1∙|(0&1@1&1)|=-1+2+1=2

и

A^(-1)=1/2 (-1&1&-1@-1&1&1@3&-1&1)^T⇒X=1/2 (-1&-1&3@1&1&-1@-1&1&1)∙(4@0@2)=(1@1@-1)

Получаем решение: x_1=1,x_2=1,x_3=-1.