Деление уравнения 5 степени

Уравнение 5-ой степени
x5+x4+x3+x2+x+
Деление на :
x+  


 

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х3 – 1)2 + х5 = х6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х5 – 2х3 + 3 = 0 пятой степени.

Правила, которые понадобятся для решения уравнений пятой степени.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

  1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
  2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
  3. Если α – корень Р(х), то Рn(х) = (х – α) · Qn – 1(x), где Qn – 1(x) – многочлен степени (n – 1).
  4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
  5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
  6. Для многочлена третьей степени

Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р3(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ).

  1. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
  2. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
  3. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
  4. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn– действительные корни многочлена

Р(х) = а0хn + а1хn — 1 + … + аn, то имеют место следующие равенства:

х1 + х2 +  …  + хn = -а10,

х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn – 1 · хn = a20,

х1 · х2 · х3 + … + хn – 2 · хn – 1 · хn = -a/ а0,

х1 · х2 · х3 · хn = (-1)nan / а0.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *