Извлечение корня n-ой степени

  X
Введите число:
Введите степень:
Корень числа:

 

Извлечение корня n-ой степени

Корнем n-ой степени из действительного положительного числа A называют такое число x, для которого:

x^n=A

Алгоритм, позволяющий вычислить число x с требуемой точностью, основан на методе Ньютона вычисления нуля функции. Чтобы найти при каком числе x выполняется f(x)=0, необходимо пошагово:

Подобрать предполагаемое значение числа x на первом этапе, например, x_0.

Используя производную функции, вычислить число x_1 по формуле:

x_1=x_0-(f(x_0))/(f^’ (x_0))

На каждом последующем шаге:

x_(k+1)=x_k-(f(x_k))/(f^’ (x_k))

Повторяем третий шаг до достижения требуемой точности.

В нашем случае примем:

f(x)=x^n-A

Тогда:

f^’ (x)=nx^(n-1),

x_(k+1)=x_k-(x_k^n-A)/(nx_k^(n-1) )=1/n ((n-1)x_k+A/(x_k^(n-1) ))

В целом, алгоритм вычисления √(n&A) с помощью подбора решения уравнения

x^n=A

становится таким:

Подбираем предполагаемое значение числа x на первом этапе, например, x_0.

На каждом последующем шаге:

x_(k+1)=1/n ((n-1)x_k+A/(x_k^(n-1) ))

Повторяем второй шаг до достижения требуемой точности.

Например, для √2 (n=2) получаем:

x_0=1,4 (так как〖1,4〗^2=1,96)

x_1=1/2 (1,4+2/1,4)=3,96/2,8≈1,41