Неравенство Бернулли

Значение X:
Значение (n):
Результат:

 

Неравенство Бернулли

Неравенство, записанное в виде:

(1+x)^n≥1+nx

называется неравенством Бернулли. Это неравенство выполняется при x≥-1 и для всех целых n≥1. Доказательство неравенства основано на методе математической индукции.

Очевидно, что при n=1 неравенство Бернулли выполняется. Пусть неравенство выполняется при некотором целом n>1. Проверим справедливость этого неравенства при n+1:

(1+x)^(n+1)=(1+x) (1+x)^n≥(1+x)(1+nx)=1+x+nx+nx^2≥1+(n+1)x

Неравенство Бернулли выполняется и при рациональных значениях n, которые больше чем 1. При положительных рациональных n, которые меньше чем 1, справедливо такое неравенство:

(1+x)^n≥1+nx,1>n>0

Пример

Возьмем

x=0,1     n=3,

и проверим справедливость неравенства Бернулли, подставив эти значения:

(1+x)^n=(1+0,1)^3=〖1,1〗^3=1,331

1+nx=1+3∙0,1=1,3

Очевидно,

1,331>1,3⟹(1+x)^n≥1+nx

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *