Неравенство Бернулли
Неравенство, записанное в виде:
(1+x)^n≥1+nx
называется неравенством Бернулли. Это неравенство выполняется при x≥-1 и для всех целых n≥1. Доказательство неравенства основано на методе математической индукции.
Очевидно, что при n=1 неравенство Бернулли выполняется. Пусть неравенство выполняется при некотором целом n>1. Проверим справедливость этого неравенства при n+1:
(1+x)^(n+1)=(1+x) (1+x)^n≥(1+x)(1+nx)=1+x+nx+nx^2≥1+(n+1)x
Неравенство Бернулли выполняется и при рациональных значениях n, которые больше чем 1. При положительных рациональных n, которые меньше чем 1, справедливо такое неравенство:
(1+x)^n≥1+nx,1>n>0
Пример
Возьмем
x=0,1 n=3,
и проверим справедливость неравенства Бернулли, подставив эти значения:
(1+x)^n=(1+0,1)^3=〖1,1〗^3=1,331
1+nx=1+3∙0,1=1,3
Очевидно,
1,331>1,3⟹(1+x)^n≥1+nx